目錄

一、什麽(me) 是連續性方程

二、流體(ti) 能量守恒定律 

1、流體(ti) 的動能 

2、流體(ti) 勢能 

3、流體(ti) 壓力能 

4、流體(ti) 的熱能

三、什麽(me) 是伯努利定理

四、水頭
五、伯努利定理的兩(liang) 個(ge) 應用 

1、用文丘裏管測量流速 

2、用皮托管測量流速

一、什麽是連續性方程

 

連續方程就是質量守恒定律。質量守恒定律認為(wei) ，流經管道的流體(ti) 在任意截麵處質量流量恒定。它被稱為(wei) 連續性方程，因為(wei) 它在流體(ti) 連續流動時成立。若流體(ti) 的密度為(wei) ρ（kg/m ³），流速為(wei) u（m/s），截麵積為(wei) A（m），則連續性方程如下。

ρuA =（常數）

質量流量的單位是（kg/s），即單位時間內(nei) 通過的流體(ti) 質量。

 

順便說一句，由於(yu) 像水這樣的液體(ti) 的體(ti) 積幾乎不隨溫度或壓力而變化，因此體(ti) 積守恒定律也適用。體(ti) 積守恒定律不適用於(yu) 氣體(ti) ，因為(wei) 體(ti) 積會(hui) 根據壓力發生很大變化。

二、流體能量守恒定律

 

伯努利定理是流體(ti) 中的能量守恒定律，流體(ti) 總計以下四種能量的總和保持不變：

①動能+②勢能+③壓力能+④熱能=（常數）

1、流體的動能

我們(men) 知道質量為(wei) m (kg) 的球以速度 v (m/s) 飛行時的動能為(wei) mv ² /2。若流體(ti) 的密度為(wei) ρ(kg/m ³ )，則單位體(ti) 積的質量為(wei) ρ×1(kg)。因此，單位體(ti) 積流體(ti) 的動能表示為(wei) ：

①流體(ti) 動能=ρu ² / 2

2、流體勢能

如果重力加速度為(wei) g(m/s ² )，則高度為(wei) h(m)、質量為(wei) m(kg)的物體(ti) 的勢能表示為(wei) mgh ，則每單位體(ti) 積的流體(ti) 的勢能如下：

②流體(ti) 勢能=ρgh

3、流體壓力能

流體(ti) 始終處於(yu) 壓力之下，這種力的作用提供了移動流體(ti) 的能量。壓力能越高，流量越大，壓力能越低，流量越低。舉(ju) 一個(ge) 具體(ti) 的例子，水管使用調節器來改變供水壓力來調節水流。如果供水壓力增加，流出的水量就會(hui) 增加；如果供水壓力減少，水流量就會(hui) 變小。壓力為(wei) p(Pa) 的流體(ti) 的壓力能就是 p。

③流體(ti) 的壓能=p

4、流體的熱能

流體(ti) 在流動時會(hui) 改變其溫度，並且流體(ti) 的熱能也會(hui) 發生變化。然而，對於(yu) 低流速的流動，轉化為(wei) 熱量的能量很小，可以忽略不計。隨著流速的增加，摩擦產(chan) 生的熱量和衝(chong) 擊波產(chan) 生的熱量產(chan) 生，增加了熱能的作用。摩擦是由流體(ti) 的粘性引起的，但由於(yu) 伯努利定理適用於(yu) 非粘性流體(ti) ，我們(men) 可以假設熱能不變。（理想流體(ti) ）

三、什麽是伯努利定理

 

伯努利定理由以下等式表示：

ρu ² /2 + ρgh + p =（常數）

正如我之前所說，伯努利定理假設熱能不變，認為(wei) 是理想流體(ti) ，也不考慮動能轉化為(wei) 熱能。此外，盡管真實流體(ti) 具有粘性並產(chan) 生摩擦阻力和渦流，但使用伯努利定理時是假設沒有粘性。

伯努利定理的應用條件：（很多人忽視這個(ge) 條件造成應用錯誤）

• 沒有密度變化（在流體(ti) 為(wei) 氣體(ti) 適用於(yu) 馬赫數(Ma)<0.3）

• 穩定流（狀態不隨時間變化的流）

• 沿流線流動

• 熱能沒有變化

• 無摩擦損失

• 無粘性損失

下麵介紹一種具體(ti) 的伯努利定理的使用方法，比如求兩(liang) 點之間的壓力差，

ρu ₁ ² /2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρu ₂ ² /2 + ρgh ₂ + p ₂

p1 _- p2 = (ρu ₂ ² /2+ ρgh2 ₎ – (ρu ₁ ² /2  ₊  ρgh ₁)

 

四、什麽是壓頭

 

水頭是流體(ti) 的能量，以水位高度 (m) 為(wei) 單位表示，也成稱之為(wei) 壓頭。動能用速度水頭 V表示，勢能用勢頭 H 表示，壓力能用壓力水頭 P表示，總和稱為(wei) 總水頭 E，以下能量守恒定律從(cong) 伯努利定理成立。

E = V + H + P

注意：即伯努利定理僅(jin) 在沒有因粘性、熱或摩擦引起的損失時才適用，但如果將這些能量損失表示為(wei) 損失水頭 L，以下守恒定律成立。

E = V + H + P + L

對於(yu) 水頭損失 L，必須提前從(cong) 過去的文獻和實驗中獲得產(chan) 生的能量損失。

例如，Brazius 公式和Niclase 公式表達了流體(ti) 粘度、流速和水頭損失之間的相關(guan) 性，因此可以使用它們(men) 。

五、伯努利定理的兩個應用

 

下麵是伯努利定理的兩(liang) 個(ge) 應用。

1、用文丘裏管測量流速

文丘裏管是一種流量測量儀(yi) 器，它通過使流體(ti) 流過截麵積發生變化的管子並測量兩(liang) 點之間的壓力來確定流量和流速。

從(cong) 連續性方程看，流速隨著管道截麵積的變化而變化。具體(ti) 來說，管子粗的地方流速慢，管子細的地方流速快。因此，通過測量截麵積不同的兩(liang) 個(ge) 位置的壓力，可以根據伯努利定理得出流速。

 

Q = u ₁ A ₁ = u ₂ A ₂　… ① 連續性方程

至於(yu) 測量文丘裏管內(nei) 壓力的方法，是在截麵積不同的兩(liang) 個(ge) 點上安裝一個(ge) U 型管壓力表。密度為(wei) ρ' 的流體(ti) 置於(yu) U 型管中，根據兩(liang) 點之間的壓力差產(chan) 生高度差，因此可以測量壓力差。

 

具體(ti) 計算方法如下：首先，在文丘裏管的橫截麵積不同的點 1 和點 2 處應用伯努利定理。

由於(yu) 流動是水平的，所以位置揚程H=0，隨著流速和壓力的變化，速度水頭V和壓力水頭P發生變化。

u ₁ ² /2g + p ₁ /ρg = u ₂ ² /2g + p ₂ /ρg 

・・・② 流管中的伯努利方程

接下來，將伯努利定理應用於(yu) U 型管中的流體(ti) ，由於(yu) 流體(ti) 是靜止的，當速度水頭為(wei) V=0 且高度差為(wei) h 時，下式成立。

p1/ρvg = h +p ₂ /ρ'g ・・・③ U型管中的伯努利方程

由式①②③可以得到流體(ti) 流過文丘裏管的速度和流量。

順便說一下，U 型管中可以放入的液體(ti) 因流速測量範圍而異。隨著壓力差的增加，U 形管變長，因此通常使用高密度水銀。

2、用皮托管測量流速

皮托管是一種測量流速的測量儀(yi) 器，它通過將一根玻璃管垂直連接到水平管上的一點，並將另一根玻璃管平行於(yu) 流體(ti) 流動。在兩(liang) 點之間應用伯努利定理給出流速。

 

u₂/2g + p₁/ρg = p₂/ρg  

在點 2，流動在玻璃管的尖端被阻塞。因此，速度能轉化為(wei) 壓力能，玻璃管內(nei) 的水位上升到h2。另一方麵，在點 1 處，管內(nei) 的靜壓 p1 使水流入玻璃管，使水位升高到 h1。

因此，通過求出兩(liang) 點之間的壓力差p ₂ -p _{1 ，就可以求出管道中的流速u。}

p₂-p₁ = ρg(h₂-h₁) 

u = √｛2g(h₂-h₁)｝