導讀：1.一維流動的質量守恒；2.連續方程的一般形式；3.連續方程的分析與應用。

一維流動的質量守恒

首先來看一下一維流動中的質量守恒，質量守恒決定了，在流動中任意流體微團的質量都應該保持不變。數學表達式是這樣的： 其中質量與密度和體積的乘積來表示。因為在流體力學中，通常用來表示速度，這裏用B來表示體積。很顯然，這種表達式是拉格朗日方法，是針對一個流體微團的。 

現在來看看流體(ti) 力學的歐拉法中的質量守恒。在這樣一個(ge) 一維流動中，取中間一段作為(wei) 控製體(ti) 流體(ti) ，從(cong) 左邊流入右邊流出。

 

根據質量守恒可知，控製體(ti) 內(nei) 質量的增加等於(yu) 流入的質量減去流出的質量 這就是質量守恒在歐拉法中的表現形式。 當流動為(wei) 定常時，控製體(ti) 內(nei) 的質量保持不變，於(yu) 是可知，任意時刻流入控製體(ti) 的質量等於(yu) 流出控製體(ti) 的質量： 

這裏的m表示了單位時間流過的質量，稱為流量。我們通過這樣一個圖來看看流量與流速的關係。 

 

對於(yu) 定常流動單位時間流過進口和出口截麵的質量相等，質量等於(yu) 密度與(yu) 體(ti) 積的乘積。在直徑大和直徑小的地方，同樣體(ti) 積的流體(ti) 所占流向長度是不同的，這個(ge) 流向長度與(yu) 時間的比值就是當地的流速。於(yu) 是我們(men) 就得出了流量的表達式：通過橫截麵的質量流量等於(yu) 密度、橫截麵積和流速三者的乘積，而體(ti) 積流量等於(yu) 橫截麵積和流速的乘積。 

質量守恒在流體(ti) 力學中體(ti) 現為(wei) 流量連續，所以稱為(wei) 連續方程：  當流動為(wei) 不可壓縮時，密度不變，連續方程可以表示為(wei) ：   

連續方程的一般形式

現在來看看連續方程的一般形式。既三維複雜流動中的質量守恒，在流場中取這樣一個任意的控製體，其表麵稱為控製麵:

 

根據質量守恒，單位時間控製體內質量的減少，應該等於流出控製體的質量。於是我們可以寫出連續方程的積分形式的表達式：

 

這種積分形式適用於(yu) 做理論分析，如果要具體(ti) 計算流場參數需要用到微分形式，所以我們(men) 現在來針對微小的控製體(ti) 推導連續方程。取這樣一個(ge) 六麵體(ti) 為(wei) 控製體(ti) 。

 

在六個(ge) 麵上流體(ti) 可以流入和流出在左側(ce) 麵和下側(ce) 麵上進入的流量表達式為(wei)  而右側(ce) 麵和上側(ce) 麵上流量的表達式用相應的一階泰勒展開表示： 由於(yu) 控製體(ti) 體(ti) 積不變，控製體(ti) 內(nei) 單位時間質量減少就體(ti) 現為(wei) 密度的減少： 而根據圖中所示，左右兩(liang) 個(ge) 側(ce) 麵上的流量之差是淨流出的質量： 於(yu) 是，我們(men) 可以得到所有六個(ge) 麵上的淨流出量： 質量的減少等於(yu) 淨流出量，於(yu) 是就可以得出我們(men) 所需要的關(guan) 係是： 體(ti) 積項  可以消去，就得到連續方程的表達式： 這個(ge) 表達式是分量形式的，可以簡化寫(xie) 成矢量形式： 其中的  是拉普拉斯算子，而  稱為(wei) 密流，即單位麵積的流量。

連續方程的分析與應用

現在我們(men) 來分析一下連續方程在具體(ti) 應用時的特點。首先，這個(ge) 方程的第一項表示了控製體(ti) 內(nei) 密度的變化，當流動為(wei) 定常時，這一項應該為(wei) 零。於(yu) 是我們(men) 得到定常流動的連續方程，即密流的散度為(wei) 零： 進一步可以得到一維定常流動的連續方程:當流動維不可壓時，得到一維定常不可壓流動的連續方程： 也就是說，一維定常不可壓流動中流速沿流向保持不變。可是這個(ge) 推導是不是有問題呢？很顯然。對於(yu) 因為(wei) 收縮通道內(nei) 的流速沿流向是增加的。

 

這個(ge) 推導是看不出問題的。其實，問題在於(yu) 收縮通道的流動不是一維流動。在工程上把它當作一維流動處理，把另外兩(liang) 位的速度變化用麵積變化來表現了。

從(cong) 連續方程還可以進行這樣的變換，把對密度和速度的微分展開成兩(liang) 項： 可以看出。這個(ge) 式前兩(liang) 項是密度的隨體(ti) 導數，而連續方程可以寫(xie) 成這樣： 因為(wei) 全導數表示的是流體(ti) 微團密度的變化，所以這是拉格朗日法的連續方程。這種形式的聯係方程的物理意義(yi) 也是很明確的，流體(ti) 微團的質量變化可以認為(wei) 有密度和體(ti) 積兩(liang) 種因素，這個(ge) 連續方程裏麵的第一項表示了密度的變化，第二項表示了體(ti) 積的變化。由於(yu) 流體(ti) 微團質量保持不變，所以密度增加，體(ti) 積必然減小，反之亦然。

從(cong) 拉格朗日法的連續方程還可以得出，不可壓縮流動的連續方程，就是速度的散度為(wei) 零： 物理意義(yi) 是流體(ti) 微團的體(ti) 積變化為(wei) 零。

我們(men) 再來看一下，所謂因為(wei) 收縮通道的流動，這次加上不可壓的條件來分析收縮通道中部一點處的速度變化情況。

 

在這一點的鄰域取一個(ge) 微小的控製體(ti) ，其上下左右各麵的速度如圖所示。左右側(ce) 麵隻有x方向的速度，右側(ce) 麵的速度比左側(ce) 麵大，上下表麵速度的x分量相同，y分量大小相等方向相反。於(yu) 是可知u沿x方向是增加的，而v沿y方向是減小的。

 

把二維不可壓連續方程寫(xie) 出來： 可以看出和流場分析是一致的，這兩(liang) 項的符號必然相反，而且大小應該相等。從(cong) 這裏我們(men) 可以看出x方向速度的增加，伴隨著y方向速度的減小，所以收縮流動至少是二維的，而不可能是一維的。

現在來看看壓縮性的影響，當流動為(wei) 可壓縮時，連續方程中的密度會(hui) 改變，低速流動中的密度的變化相對較小，因此收縮就加速在定性上總是正確的。當氣體(ti) 以超音速流動時，密度的變化很大，比速度的變化量還要大，也就是說這時速度增加一倍，密度會(hui) 減小的比一半還小，所以麵積以速度的關(guan) 係就反過來了。超音速氣流通過擴張通道時才會(hui) 加速。

 

曆史上，瑞典工程師拉瓦爾在研究衝(chong) 擊式渦輪的時候，采用收縮擴張的管道，成功讓氣流從(cong) 亞(ya) 音速加速到了超音速。於(yu) 是，這種管道就被稱為(wei) 拉瓦爾噴管。

 

再來看看不可壓和非定常的關(guan) 係。這是不可壓連續方程： 在推到它時，並沒有假設定常流動。所以這個(ge) 三維方程包括它的一維形式，對定常和非定常都成立的。

比如這個(ge) 模型中，不可壓時，流體(ti) 密度不變，所以容腔內(nei) 的流體(ti) 質量保持不變，於(yu) 是可知那一瞬間進出口的流量相等，可以說，單看總流量的話不可壓縮流動隻能是定常的。

 

接下來我們(men) 看一個(ge) 流動的例子，假設有一輛行駛中的汽車缺了一塊玻璃，而其餘(yu) 各處密封都完好不漏氣。

 

分前窗側(ce) ，窗和後窗三種情況來考慮。空氣是流進來還是流出去？從(cong) 經驗判斷，前窗缺玻璃時，氣體(ti) 流入；後窗缺玻璃時氣體(ti) 流出。是這樣嗎？汽車的運動速度不高，屬於(yu) 不可壓縮流動，可以用不可壓縮連續方程來判斷這個(ge) 問題。隻有一個(ge) 開口，無論開口朝什麽(me) 方向，流體(ti) 都應該是不進也不出。雖然這似乎和感覺不同，但這就是連續方程給出的結果。那為(wei) 什麽(me) 坐在窗子邊會(hui) 有很大的風吹進來呢？這其實是流動的非定常性造成的，因為(wei) 非定常性缺口有可能一半流出一半流入。

我們(men) 再來看一個(ge) 河流的例子。假設這是一條沒有支流的河上遊，坡度大，下遊坡都想那麽(me) 在圖中的A點和B點哪裏流速快呢？這個(ge) 很好判斷坡度大的地方流速快。那麽(me) 哪裏河道寬呢？

 

這個(ge) 可以用連續方程來判斷流速小的地方需要的橫截麵積大，一般河麵會(hui) 寬。所以在這個(ge) 例子中，流體(ti) 的橫截麵積是由流體(ti) 速度決(jue) 定的。

對於(yu) 封閉管道內(nei) 的流動橫截麵積是由管道決(jue) 定的。看來似乎麵積的收縮是流體(ti) 加速的原因了。

 

然而很顯然，流體(ti) 遵從(cong) 牛頓定律加速一定是受到了驅動力的作用。粗的地方壓力高，細的地方壓力低。流體(ti) 微團流經收縮通道時，是從(cong) 壓力高的地方流向壓力低的地方，相當於(yu) 微團背後的壓力大於(yu) 前胸的壓力，被推著加速前進，這就是驅動力了。所以流體(ti) 加速是壓力差的驅動造成的。