1、緒論

這篇文章是機械臂專(zhuan) 欄的第一期，該文章旨在對機械臂基礎知識進行簡要的概述，為(wei) 之後機械臂的運動學和動力學仿真做好鋪墊。該篇文章隻進行整體(ti) 的知識架構梳理和具體(ti) 知識的簡要介紹，並不會(hui) 過多深入，其中內(nei) 容主要來源與(yu) John J. Craig 的著名著作《機器人學導論》，請需要學習(xi) 機械臂的同學無比熟讀該書(shu) 。

首先介紹一下我將要介紹的主要知識點，空間描述與(yu) 轉換、機械臂運動學、機械臂速度與(yu) 靜力。

為(wei) 什麽(me) 要學習(xi) 空間描述與(yu) 轉換呢，我們(men) 可以看下圖，機械臂是若幹個(ge) 杆連接而形成的（連接兩(liang) 個(ge) 杆的地方是關(guan) 節），而在機械臂中這些杆稱為(wei) 連杆，每個(ge) 連杆可以在夫連杆（上一連杆）的基礎上繞某一軸旋轉，（關(guan) 節通過電機旋轉帶動連杆旋轉），而這個(ge) 軸隻與(yu) 夫連杆相對禁止，這就導致一旦多個(ge) 連杆都進行運動時，連杆隻能與(yu) “上一級連杆”和“下一級連杆”進行直接的空間轉換關(guan) 係，也就是說當我知道第一個(ge) 連杆旋轉的角度時，我就能根據底座的空間坐標推算出第一個(ge) 連杆的具體(ti) 位置，然後一級一級往後推就能獲得最末端機械臂的位置，也就是接卸比末端位置。而空間描述和轉換就是學習(xi) 如何一級一級計算空間坐標，也就是學習(xi) 從(cong) 固定的底座開始，空間時如何通過連杆旋轉一步一步轉換的。

 

機械臂運動學就很好理解了，麵對機械臂，我們(men) 肯定是研究如何使得機械臂按照我們(men) 意願去運動，如何控製機械臂末端的位置。比如用機械臂拿杯子，肯先要控製末端到達杯子位置，所以這裏就設計到運動學知識，分為(wei) 正運動學和逆運動學，正運動學就是已知每個(ge) 關(guan) 節電機的旋轉角度，推算出末端工具的空間位姿（這裏的位姿其實就是空間位置加上空間朝向）。逆運動學就是已知我末端空間位置，推算出各個(ge) 關(guan) 節的角度，這就類似於(yu) 拿杯子，我知道杯子位置，需要推算出末端工具到達該位置需要每個(ge) 關(guan) 節旋轉多大角度。

機械臂速度與(yu) 靜力，就涉及到動力學知識，首先學習(xi) 機械臂速度，是為(wei) 了描述每個(ge) 連杆線速度和角速度是如何傳(chuan) 遞的，其中比較主要的知識點就是雅可比矩陣，該矩陣描述了每個(ge) 關(guan) 節速度與(yu) 末端的位姿速度。而機械臂靜力就涉及到機械臂動力學知識，主要講的是機械臂在某個(ge) 姿態各關(guan) 節以速度、加速度運動時，關(guan) 節電機需要輸出的力矩，如果末端對外界施加力，這裏還需要加入施加力反作用在各個(ge) 關(guan) 節的力矩。

2、空間位置、姿態與位姿的描述

2.1，位置表示

當我們(men) 對機械臂建立坐標係時，往往將底座作為(wei) 基準坐標係，圖中坐標係A便是基準坐標係，就能用一個(ge) 3\times1的位置矢量給出坐標係中的任何點定位。還要注意矢量定義(yi) 在哪一個(ge) 坐標係。^AP是指相對坐標係A的一個(ge) 點的位置。

 

 

世界坐標係中的任何點都可以用一個(ge) 3×1的位置矢量進行定位，例如：

 

  

2.2、位姿表示

不僅(jin) 需要表示空間中的點的位位置，還需要描述物體(ti) 的姿態，也就是該點出物體(ti) 的方向。上圖確定了操作臂末端位置，若姿態也確定，末端的位姿就能完全被確定下來。為(wei) 了描述物體(ti) 的姿態，我們(men) 在物體(ti) 上固定一個(ge) 坐標係並且給出此坐標係相對於(yu) 參考坐標係的描述。如下圖的參考係B即為(wei) 固定在物體(ti) 上的。

 

用XB,YB,ZB來表示坐標係{B}各主軸方向的單位矢量，當用坐標係{A}來表示時，它們(men) 被寫(xie) 成AXB,AYB,AZB，將三個(ge) 單位矢量按AXB,AYB,AZB順序排列組成一個(ge) 3×3的矩陣，稱之為(wei) 旋轉矩陣，用符號ABR來表示。

 

有了位姿的描述，我們(men) 就能知道一個(ge) 連杆末端也就是關(guan) 節相對於(yu) 上一關(guan) 節的位姿，依次描述最後就能獲得末端位姿。如圖所示，紅色表示連杆，白色表示關(guan) 節處，每個(ge) 關(guan) 節處就代表一個(ge) 坐標係，通過坐標係的遞推計算，就能算出末端坐標係相對基準坐標係的位姿。

 

接下來就時如何計算坐標係的位姿。

2.3 坐標係平移

可以從(cong) 圖中看出，B坐標係就是相對A坐標係進行平移

 

此時，我們(men) 用矢量相加的辦法求點P相對於(yu) A的表示^AP：

 

 

 

2.4 坐標係旋轉

 

若我們(men) 已知矢量相對於(yu) B的定義(yi) ^BP，現在想求矢量相對於(yu) A的定義(yi) ，且兩(liang) 個(ge) 坐標係原點重合，我們(men) 已知^A_BR，那麽(me) 我們(men) 是可以求解的。

該式可簡化為(wei) 旋轉矩陣形式表示：

 

有了矩坐標係的偏移和旋轉，我們(men) 就可以根據基準坐標係推算出連接連杆的坐標係。

 

如圖所示為(wei) 兩(liang) 個(ge) 坐標係有相對的偏移和旋轉，於(yu) 是就有：

 

而這樣表示兩(liang) 個(ge) 坐標係的關(guan) 係就顯得很麻煩，於(yu) 是通過定義(yi) 轉換算子來方便描述：

 

 

於(yu) 是我們(men) 就可以通過轉換算子來描述兩(liang) 個(ge) 坐標係的關(guan) 係，同樣轉換算子是可以疊加的，通過不斷的疊加就可以算出末端與(yu) 基準坐標係的轉換算子，也就是得到末端相對於(yu) 基準坐標係的位姿。

 

 

 

3 、機械臂運動學

3.1、連杆表示

首先學習(xi) 機械臂運動學，就需要了解機械臂的結構，連杆與(yu) 連杆之間的坐標係是如何變換的，是如何平移，如何旋轉，使得某一連杆坐標係按照這個(ge) 平移旋轉之後能夠獲得下一個(ge) 連杆的坐標係，也即是兩(liang) 個(ge) 連杆之間的坐標係算子與(yu) 連杆結構的關(guan) 係，更直白的意思就是，如果知道某一關(guan) 節的角度，就能找到關(guan) 節連接的兩(liang) 個(ge) 連杆坐標係對於(yu) 的變換算子T。

常見的操作臂的結構一般優(you) 先選擇隻有一個(ge) 自由度的關(guan) 節作為(wei) 連杆的連接方式，大部分的操作臂中會(hui) 包括轉動關(guan) 節和移動關(guan) 節。隻有很少見的情況，會(hui) 使用具有n個(ge) 自由度的關(guan) 節，這種關(guan) 節也可以抽象的看做用n個(ge) 單自由度的關(guan) 節與(yu) n-1個(ge) 長度的連杆組合而成的。

我們(men) 在討論操作臂時，會(hui) 從(cong) 固定基座開始為(wei) 連杆編號，我們(men) 習(xi) 慣性地成固定基座為(wei) 連杆0，接下來的第一個(ge) 能動的連杆被稱為(wei) 連杆1，以此類推，最末端的的連杆就稱為(wei) 連杆n

 

上圖就是一種連杆描述方式，用四個(ge) 參數描述兩(liang) 個(ge) 連杆的相對位姿關(guan) 係：

 

也就是如上分析，知道兩(liang) 個(ge) 連杆的具體(ti) 相對位姿關(guan) 係後，就能推算出兩(liang) 個(ge) 連杆坐標係的轉換算子T：

 

這樣，隻要我知道每個(ge) 連杆相對關(guan) 係，就能推算出機械臂末端相對基準坐標的轉換算子，也就是能夠得到末端相對基準坐標係的位置和狀態。

3.2、運動學原理

在這個(ge) 連杆關(guan) 係中，有一個(ge) 參數θ，他是動態變化的，就是其他三個(ge) 參數是不會(hui) 變化，而該參數θ就是關(guan) 節旋轉角度，所以我們(men) 就能根據每個(ge) 關(guan) 節旋轉角度推算出機械臂末端相對基準坐標係的變換算子，從(cong) 而得到機械臂末端的位姿，這就是正運動學。

當我們(men) 知道末端位姿時，希望機械臂能達到該位置，就首先推算處該變換算子關(guan) 於(yu) θ的公式：

 

然後有已知的基準坐標係位姿和末端位姿進行矩陣運算的具體(ti) 參數 T，然後進行方程求解，但是逆運動學的求解難度會(hui) 隨著機械臂關(guan) 節數量的變換成幾何倍增。

大概的運動學知識點就講解到這裏，有關(guan) 動力學知識會(hui) 在之後動力學仿真部分講解，而接下來將會(hui) 發布運動學的各種仿真方法。