基爾霍夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為(wei) 基爾霍夫定律，指的是兩(liang) 條電路學定律，基爾霍夫電流定律與(yu) 基爾霍夫電壓定律。它們(men) 涉及了電荷的守恒及電勢的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於(yu) 電機工程學。

從(cong) 麥克斯韋方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫並不是依循這條思路發展，而是從(cong) 格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

所有進入某節點的電流的總和等於(yu) 所有離開這節點的電流的總和。

所有進入節點的電流的總和等於(yu) 所有離開這節點的電流的總和。對於(yu) 本圖案例，i1 + i4 = i2 + i3 。

以方程表達，對於(yu) 電路的任意節點，

；

其中，ik 是第 k 個(ge) 進入或離開這節點的電流，是流過與(yu) 這節點相連接的第 k 個(ge) 支路的電流，可以是實數或複數。

基爾霍夫電流定律又稱為(wei) 基爾霍夫第一定律。由於(yu) 累積的電荷（單位為(wei) 庫侖(lun) ）是電流（單位為(wei) 安培）與(yu) 時間（單位為(wei) 秒）的乘積，從(cong) 電荷守恒定律可以推導出這條定律。

[編輯] 導引

思考電路的某節點，跟這節點相連接有 n 個(ge) 支路。假設進入這節點的電流為(wei) 正值，離開這節點的電流為(wei) 負值，則經過這節點的總電流 i 等於(yu) 流過支路 k 的電流 ik 的代數和：

。

將這方程積分於(yu) 時間，可以得到累積於(yu) 這節點的電荷的方程：

；

其中， 是累積於(yu) 這節點的總電荷， 是流過支路 k 的電荷，t 是檢驗時間，t' 是積分時間變量。

假設 q > 0 ，則正電荷會(hui) 累積於(yu) 節點；否則，負電荷會(hui) 累積於(yu) 節點。根據電荷守恒定律， q 是個(ge) 常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於(yu) 這節點是個(ge) 導體(ti) ，不能儲(chu) 存任何電荷。所以，q = 0 、i = 0 ，基爾霍夫電流定律成立：

。

[編輯] 含時電荷密度

從(cong) 上述推導可以看到，隻有當電荷量為(wei) 常數時，基爾霍夫電流定律才會(hui) 成立。通常，這不是個(ge) 問題，因為(wei) 靜電力相斥作用，會(hui) 阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於(yu) 節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，電容器的兩(liang) 會(hui) 導板可能會(hui) 允許正電荷或負電荷的累積。這是因為(wei) 電容器的兩(liang) 塊導板之間的空隙，會(hui) 阻止分別累積於(yu) 兩(liang) 塊導板的異性電荷相遇，從(cong) 而互相抵消。對於(yu) 這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於(yu) 電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流 納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。隻有當應用基爾霍夫電流定律於(yu) 電容器內(nei) 部的導板時，才需要這樣思考。若應用於(yu) 電路分析（circuit analysis）時，電容器可以視為(wei) 一個(ge) 整體(ti) 元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層麵來說，取散度於(yu) 麥克斯韋修正的安培定律，然後與(yu) 高斯定律相結合，即可得到基爾霍夫電流定律：

；

其中， 是電流密度，ε0 是電常數， 是電場，ρ 是電荷密度。

這是電荷守恒的微分方程。以積分的形式表述，從(cong) 封閉表麵流出的電流等於(yu) 在這封閉表麵內(nei) 部的電荷 Q 的流失率：

。

基爾霍夫電流定律等價(jia) 於(yu) 電流的散度是零的論述。對於(yu) 不含時電荷密度 ρ ，這定律成立。對於(yu) 含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。